(UnB - 1982) Na figura abaixo, é dado um cubo de $\,8\sqrt{3}$ cm de aresta, cuja base está sobre um plano $\;\pi_{1}\;$. O plano $\;\pi_{2}$ é paralelo à reta que contém a aresta $\;\;a\;\;$. Forma com $\;\pi_{1}$ um ângulo de $30^o$ e "corta" do cubo um prisma $\;C\;$ de base triangular cuja base é o triângulo $\;PQR\;$.
O segmento $\;PQ\;$ tem 5 cm de comprimento.
Determinar o volume do prisma $\;C\;$.

imagem cubo e planos concorrentes

resposta: V = $75\;cm^3$
×

Determinar a área total e o volume do prisma triangular regular, cuja aresta da base mede 5 cm e a altura 10 cm.

resposta:

A área total da um prisma é igual à soma da área de todas as faces laterais com a área da base superior e a área da base inferior.

Resolução:

Área total = $A_{tot} = A_{lateral} + 2 \centerdot A_{base} \;\;\Rightarrow$

$\;A_{lateral} = 3 \centerdot A_{face} = 3 \centerdot 5 \centerdot 10 = 150\; cm^2 \;\;$

$A_{base} = A_{\triangle} = \dfrac{\;b \centerdot h\;}{2} = \dfrac{\;\ell ^2 \sqrt{3}\;}{4} =$ $ \dfrac{\;5^2 \sqrt{3}\;}{4} = \dfrac{\;25\;}{4} \sqrt{3}\; cm^2$

$A_{total} = 150 + 2\dfrac{\;25\;}{4}\sqrt{3}\;\Rightarrow$

$A_{total} = \dfrac{\;25 \centerdot (12 + \sqrt{\;3\;})\;}{2} \; cm^2$

O volume de um prisma é a sua altura multiplicada pela área da base. Lembremos que, sendo um prisma, a base inferior e superior são congruentes.

Volume = $A_{base} \centerdot altura \;\;\Rightarrow \;\; V = A_{base} \centerdot H$

$\;V = \dfrac{25}{4}\sqrt{3} \centerdot 10 \;\;\Rightarrow$ $\;V = \dfrac{125 \centerdot \sqrt{3}}{2}\;cm^3$

Resposta:

$A_{total} = \dfrac{25 \centerdot (12 + \sqrt{3})}{2} \; cm^2\phantom{X}$ $V_{olume} = \dfrac{125 \centerdot \sqrt{3}}{2}\;cm^3$
×

Determinar o volume do prisma oblíquo da figura, onde a base é um hexágono regular de aresta 1 m e a aresta lateral que faz um ângulo de 60° com o plano da base mede 2 m .

resposta: Resolução:

$\;H = \frac{2\sqrt{3}}{2}\; = \; \sqrt{3}\;m \Rightarrow $
$A_{Base} = \ell \centerdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \;=\;3 \centerdot \frac{1 \sqrt{3}}{2} \;=\; \frac{3\sqrt{3}}{2} \;\; m^2$
$\;V\; = \; A_{Base} \centerdot H \;=\; \frac{3\sqrt{3}}{2} \centerdot \sqrt{3} \;=\; \frac{9}{2} \;=\;4,5 m^3$

$\; V\;=\;4,5\;m^3$

×

(ITA - 1990) Considere um prisma triangular regular cuja aresta da base mede x cm. Sua altura é igual ao menor lado de um triangulo ABC inscritível num círculo de raio x cm. Sabendo-se que o triangulo ABC é semelhante ao triangulo de lados 3 cm , 4 cm e 5 cm, o volume do prisma em cm³ é:

$\,\dfrac{\sqrt{2}}{3}x^{\large 3}\,$

$\,2\dfrac{\sqrt{2}}{5}x^{\large 3}\,$

$\,3\dfrac{\sqrt{3}}{10}x^{\large 3}\,$

$\,\dfrac{\sqrt{3}}{10}x^{\large 3}\,$

n.d.a

resposta: (C)
×

Determine o volume do prisma quadrangular regular inscrito no cilindro equilátero da figura em função do raio da base do mesmo.

prisma quadrangular inscrito em um cilindro equilátero

resposta:

Resolução:

base do cilindro equilátero que contém um prisma quadrangular inscrito

1. calcular a aresta da base do prisma interno:

$\;\overline{AB}\;\rightarrow\;$ lado do quadrado inscrito

$\;\overline{AC}\;\rightarrow\;$ diagonal do quadrado e diâmetro $\;2R\;$

$\;AB\sqrt{2}\,=\,2R\;\Rightarrow\;$ $\;AB\,=\,\dfrac{2R}{\sqrt{2}}\centerdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\;\Rightarrow\;$ $\;\overline{AB}\,=\,R\sqrt{2}\;$

2. calcular a altura do prisma interno:

Dizer que o cilindro é equilátero significa que sua secção meridiana é um quadrado. Portanto a altura do cilindro é igual ao diâmetro da base (2R).A altura do prisma é a mesma do cilindro (2R).

3. calcular o volume do prisma:

Volume = (Área da Base)×(altura)

$\;V\,=\,\left( R\sqrt{2}\right)^{\large 2}\centerdot 2R\;\Rightarrow\;$

$\;V\,=\,2R^{\large 2}\centerdot 2R\;=\;4R^{\large 3}\;$

Resposta: O volume do prisma em função do raio será

V = 4R³
×

(ITA - 1986) Um cilindro equilátero de raio 3 cm está inscrito num prisma triangular reto, cujas arestas da base estão em progressão aritmética de razão s , s > 0. Sabendo-se que a razão entre o volume do cilindro e do prisma é $\;\dfrac{\pi}{4}\;$ podemos afirmar que a área lateral do prisma vale

$\;144\,cm^2\;$

$\;12\,\pi\,cm^2\;$

$\;\dfrac{\pi}{5}\;$ da área lateral do cilindro

$\;24\,cm^2\;$

$\;\dfrac{5}{3}\;$ da área lateral do cilindro

resposta:

Considerações:

Eixo do cilindro é a reta que passa pelos centros das bases do cilindro.
Secção meridiana de um cilindro é a secção gerada por um plano que contém o eixo do cilindro.
Um cilindro é chamado reto quando o seu eixo é perpendicular aos planos das bases.
O cilindro é EQUILÁTERO quando é reto e a medida de sua altura é igual à medida do diâmetro da base.

A secção meridiana de um cilindro equilátero é um quadrado.

prisma triangular regular com cilindro equilátero inscrito

Resolução:

1. Observando atentamente a figura, temos:

$\;A_{\mbox{base}}\;$
=
área da base do prisma triangular

$\;V_C\;$ 
=
o volume do cilindro
$\;\rightarrow\;V_C\;=\;\pi\centerdot R^{\large 2}\;=\;\pi\centerdot(3)^{\large 2}$

$\;V_P\;$ 
=
 o volume do prisma triangular
$\;\rightarrow\;V_P\;=\,A_{\mbox{base}}\centerdot h\;=\;A_{\mbox{base}}\centerdot 6\;$

A razão entre o volume do cilindro e o volume do prisma é $\;\dfrac{\pi}{4}\;$.
$\;\dfrac{V_C}{V_P}\,=\,\dfrac{\pi}{4}\;\Rightarrow\;\dfrac{\pi\centerdot 3^{\large 2}\centerdot 6}{6 \centerdot A_{\mbox{base}}}\;\Leftrightarrow\;A_{\mbox{base}}\,=\,36$

A base do cilindro é um círculo inscrito na base triangular do prisma. Então o centro do círculo é o incentro da base triangular.

A área de um triângulo é igual ao seu semiperímetro multiplicado pelo raio da circunferência inscrita

Perímetro da base 
=
$\;p\;=\,(a\,-\,s)\,+\,a\,+\,(a\,+\,s)\;=\;3\centerdot a$

Semiperímetro da base  
=
$\;\dfrac{p}{2}\;=\;\dfrac{3\centerdot a}{2}$

$\;A_{\mbox{base}}\; =\;$ semiperímetro $\times$ R 
=
 $\;\dfrac{3\centerdot a \centerdot 3}{2}\; =\;36\;\Rightarrow$ $\;a\;=\;8\;$

A área lateral do prisma triangular é a soma das áreas de cada uma das três faces retangulares laterais:
A_lateral = $\,6(a\,-\,s)\,+\,6(a)\,+\,6(a\,+\,s)\,$ $\,=\,6(a - s + a + a - s)\,=\,6(3a)\,=\,6\centerdot 3\centerdot 8\,= 144\;cm^2\;$

Alternativa A
×